التابع الأصلي :

تعريف : ليكن ب تابعاً عددياً معرفاً على المجال   نقول إن التابع F تابع أصلي على المجال X إذا كان وفقط إذا كان F اشتقاقياً على X ويحقق

الأمثلة : ليكن لدينا التوابع الأصلية التالية اوجد تابع لكل منها

الأمثلة محلولة:اوجد قيمة التكاملات التالية:

تمارين الفصل الخامس:

في التمارين من الرقم  من 1 حتى 11  أوجد مجموعة التوابع الأصلية للتابع f على المجال  X .

في التمارين من 12 حتى 17 اوجد قيمة التكاملات التالية:

18) في الشكل المجاور s  هي مساحة السطح المظلل المحصور بين خط البياني لنابع f والمحور ox ثلاث قيم مقترحة لهذهالمساحة واحدة منها فقط صحيحة دل على القيمة الصحيحة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

19) ليكن ؟ الخط البياني للتابع f  المعرف على     {1 } \ R   وفق :   

1) احسب مساحة السطح المحصور بين     الخط البياني والمحور السينات ox  والمستقيمين                   x=2  

2)  احسب مساحة السطح المحصور بين     ؟ الخط البياني    ox   والمستقيمين           x=-3            x=-2

الحل : نرسم   ؟  الخط البياني

نقاط مساعدة         (0 ,2)n 2  (0 ,2)       n2

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

20) احسب مساحة السطح المحصور بين المحور  ox  والخط البياني للتابع f  المعرف على  R وفق :  

الحل :   نرتب التابع ومن ثم نشتق فنجد

وحدة المساحة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

21) احسب مساحة السطح المحصور بين المحور ox   والخط البياني للتابع  f  المعرف على    R  وفق :   

الحل :

التقاطع مع المحاور   

وحدة المساحة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

22) ليكن ؟ الخط البياني للتابع   f   المعرف على  R وفق   

1) ارسم  الخط البياني

2) احسب   s1   مساحة السطح المحصور بين الحط البياني      و    ox   

3) احسب    s2   مساحة السطح المحصور بين الخط البياني والمحورين    ox   oy  

4 ) احسب  s3  مساحة السطح المحصور  بين الخط البياني  والمحورين  الإحداثيين والمستقيم الذي  معادلته   :   1 -=y  

5) احسب  s4  مساحة السطح المحصور  بين الخط البياني  والمستقيم         1-x=y

الحل  :  نلاحظ انه يمثل قطع مكافئ مركزه  (1-و2) التقاطع مع المحاور :     3=x=1 ,    x

لان

أن   3 s  مساحة المستطيل  ناقص   نصف s2

تقاطع الخط الباني مع المستقيم  هما        

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

22) ليكن   ؟1 الخط البياني للتابع 1f   و المعرف  على  R  وفق :   وليكن   ؟ 2  الخط البياني للتابع   2f المعرف على  R  وفق :

1) ارسم كلا من الخطيين البيانيين السابقين:

2) احسب مساحة السطح المحصور بين    1؟     و      2؟

الحل : نرسم الجطيين البيانيين

قطع مكافىء مركزه (2,4)    و التقاطع مع المحاور :  (0 ,4)  و  (0 ,0)

  نلاحظ انه يمثل قطع مكافئ مركزة    (1 ,1) التقاطع مع المحاور (0 ,2) و(0 ,0)      عندما      الخط البياني ل2 f   تقع فوق الخط البياني 1f 

                                                           عندما       الخط البياني ل2 f   تقع تحت الخط البياني 1f

 وحدة المساحة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

24) ليكن  1؟ الخط البياني للتابع  1f  المعرف على  R ,tr :    وليكن  2؟ الخط البياني  للتابع  2 f  المعرف على  R  وفق 

     أحسب مساحة السطح المحصور بين  الخطيين  البيانيين السابقين

الحل :    قطع مكافئ  مركزه      ( 4- , 2 )

التقاطع  مع المحاور الاحداثية

التابع الثاني :

  قطع مكافئ مركزه    ( 1- , 2 )

التقاطع مع المحاور الاحداثية :